APLIKASI DIFERENSIAL DALAM ILMU EKONOMI

MATEMATIKA EKONOMI

“ APLIKASI HITUNG DIFERENSIAL DALAM ILMU EKONOMI“

 

  

DISUSUN OLEH :

KELAS IV B MATEMATIKA

KELOMPOK IV

           ASWAR ANAS                (10536427412)

           SAHRIR RAMADHAN (10536426312)

           SUKMAWATI. HS.         (10536424112)

           RAHMA AULIANI        (10536426812)

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MAKASSAR

2014

APLIKASI HITUNG DIFERENSIAL

DALAM ILMU EKONOMI

A.    Pengertian Diferensial (Derivatif)

Darivatif atau turunan  tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau pecahan dengan dy sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan sebagai lambang yang menyertakan limit dari  , sewaktu mendekati nilai nol sebagai limit. Akan tetapi untuk dapat memahami masalah – masalah tertentu kadang – kadang bermanfaat juga untuk menafsirkan dx dan dy secara terpisah. Dalam hubungan ini dx menyatakan diferensial x dan dy diferensial y. pengertian diferensial berguna sekali, misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada pendekatan perubahan dalam variabel gayut yang berkaitan dengan perubahan – perubahan kecil dalam variabel bebas.

Jika f َ (x) merupakan derivative dari fungsi f(x) untuk nilai x tertentu dan  merupakan kenaikan dalam x, maka diferensial dari f(x), yang dalam hal ini ditulis f(x), terdefinisikan oleh persamaan.

B.       Kaidah – Kaidah Diferensial

Diferensial adalah proses penentuan n turunan dari suatu fungsi, yaitu mencari perubahan y berkenaan dengan suatu perubahan x apabila perubahan x ( mendekati nol.

1.      Kaidah fungsi constant

Misalnya ; y = k maka   = 0

Contoh : y = 5 maka

2.      Kaidah fungsi linear

Misalnya : y = a + bx maka

Contoh : y = 2 + 3x maka

3.      Kaidah fungsi pangkat

Misalnya; y = xⁿ dimana n ≠ 0 maka

Contoh :

y = x⁴ maka  4x³

4.      Diferensiasi perkalian konstan dengan fungsi

Jika y = kv dimana v = f(x) maka =

Contoh :

5.      Diferensiasi pembagian konstan dengan fungsi

Jika y =  dimana v = f(x) maka =

Contoh:

y =                

6.      Diferensiasi penjumlahan (pengurangan), fungsi

Jika  dimana u = g(x) dan v = h(x)

Maka

Contoh:

7.      Diferensiasi perkalian fungsi

Maka

Contoh:

8.      Diferensiasi perkalian fungsi

Jika

Maka =

Contoh:

9.      Diferensiasi fungsi komposit

Jika y=f(u) sedangkan  u=g(x) dengan kata lain y=f{g(x)}

Maka

Contoh:

y =

10.  Diferensiasi fungsi berpangkat

Jika

Maka

Contoh:

C.    Perilaku Konsumen

Perilaku konsumen di adalam memutuskan berapa jumlah barang yang akan dibeli biasanya mengikuti hukum permintaan yang mengatakan bahwa bila harga sesuatu barang naik, maka ceteris paribus (faktor-faktor lain dianggap tetap) jumlah barang yang diminta konsumen turun. Demikian pula sebaliknya bila harga turun maka ceteris paribus jumlah barang yang diminta akan naik.

Salah satu pendekatan yang menjelaskan mengapa konsumen berperilaku seperti itu adalah pendekatan kepuasan marjinal (marjinal utility). Kepuasan marjinal adalah tambahan kepuasan yang diperoleh konsumen karena ada tambahan konsumsi satu unit barang. Jadi kepuasan marjinal tidak lain adalah turunan pertama dari kepuasan total.

Keterangan:

MU = Kepuasan marjinal

TU  = Kepuasan total

Q    = Jumlah barang yang dikonsumsi

Pendekatan kepuasan marjinal bertitik tolak pada suatu tanggapan yang mengatakan bahwa kepuasan konsumen dapat diukur dengan uang dan konsumen berusaha untuk mencapai kepuasan total yang maksimum. Jika P menunjukkan harga barang, maka konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum apabila dipenuhi syarat:

Contoh:

1.        Berapakah jumlah barang yang akan diminta oleh konsumen apabila harga barang per unit Rp. 2000,- dan kepuasan total konsumen ditunjukkan oleh fungsi

Jawab:

Kepuasan total yang maksimum akan diperoleh konsumen bila syarat

P = MU di penuhi, maka:

2000   = 2100  0,5Q

  0,5Q = 100

       Q = 200

Jadi, konsumen akan memperoleh kepuasan total apabila ia membeli barang sebanyak 200 unit pada harga Rp. 2000,- per unit.

2.        Seorang konsumen membeli sejenis barang sebanyak 20 unit dan ia telah memperoleh kepuasan total yang maksimum. Berapakah harga pembelian barang tersebut per unitnya jika fungsi kepuasan total konsumen ditunjukkan oleh fungsi

Jawab:

Kepuasan marjinal:

Kepuasan total yang maksimum diperoleh bila

Jumlah barang yang dikonsumsi adalah 20 unit.

Jadi pada tingkat harga Rp 5,00 konsumen akan memperoleh kepuasan maksimum dengan mengkonsumsi barang sebanyak 30 unit.

D.      Perilaku Produsen

Salah satu keputusan yang harus diambil oleh seorang produsen adalah menentukan berapa output yang harus diproduksi. Setiap proses produksi, seorang produsen dianggap mempunyai landasan teknis untuk berproduksi yang disebut fungi produksi. Fungsi produksi adalah suatu fungsi atau persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat output yang dihasilkan dan penggunaan input-input. Tambahan output yang dihasilkan karena ada penambahan pemakaian satu unit input disebut dengan produksi marjinal (Marjinal Physical Product) dan diberi symbol MP. Bila Q menunjukkan tingkat output yang dihasilkan dan L menunjukkan tingkat penggunaan input, maka produksi marjinal dapat dirumuskan:

Selain konsep produksi marjinal, dalam membicarakan perilaku konsumen ini dipakai pula konsep produksi rata-rata (Average Product) yang kemudian kita beri simbol AP, Produk rata-rata adalah output rata-rata per unit dan dirumuskan:

Tujuan produsen dalam memproduksi barang dianggap untuk mendapatkan keuntungan maksimum. Oleh sebab itu produsen harus bisa memutuskan berapa banyak input yang harus digunakan agar output yang yang dihasilkan dapat memberikan keuntungan yang maksimum. Syarat yang harus dipenuhi:

Contoh:

Perusahaan “X” memproduksi suatu jenis barang dengan input variabel L, output yang dihasilkan pada berbagai tingkat input adalah Q = 75L, jika harga input L adalah Rp. 7500,- per unit dan harga output Rp. 500,- berapa unit yang harus diproduksi oleh perusahaan agar keuntungan yang diperoleh maksimum? Berapakah produksi rata-ratanya?

Jawab:

Fungsi Produksi Q = 75L, maka MP = 75 – 2L

Syarat keuntungan maksimum:

     

75 – 2L =

          L = 30 unit

Jadi, input yang digunakan agar keuntungan produsen maksimum adalah 30 unit.

Jumlah output yang dihasilkan adalah:

Q = 73(30) – (30)² = 1350 unit

Produksi rata-rata:

AP =  == 45 unit output

Artinya, pada tingkat penggunaan input L = 30 unit, setiap unit input digunakan untuk menghasilkan rata-rata 45 unit output.

E.       Biaya Produksi

Biaya produksi bagi suatu perasaan adalah nilai dari factor-faktor produksi (sumber-sumber ekonomi) yang digunakan dalam proses produksi. Dari segi sifat biaya dalam hubunganya dengan tingkat output, biaya produksi total dapat dibagi menjadi:

a.     Biaya Tetap Total ( Total Fixed Cost) disingkat TFC atau FC yaitu jumlah biaya-biaya yang besarnya tetap, berapapun tingkat output yang dihasilkan. Biaya yang termasuk biaya tetap ini misalnya: Penyusutan, sewa gudang, asuransi dan sebagainya.

b.    Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost) disingkat TVC atau VC adalah biaya yang besarnya tergantung dari jumlah output yang dihasilkan. Biaya variabel ini akan bertambah besar bila output yang dihasilkan bertambah. Biaya yang termasuk TVC misalnya biaya untuk bahan mentah, upah, ongkos, angkut dan sebagainya.

c.     Biaya Total (Total Cost) disingkat TC adalah penjumlahan antara biaya tetap dan biaya variable, atau TC = FC + VC

Gambar TFC, TVC, dan TC bersama-sama adalah sebagai berikut:

                                                                                               

                                                                                               

Disamping konsep biaya total tersebut diatas, dipakai juga beberapa konsep biaya persatuan, yaitu:

a.     Biaya Tetap Rata-rata (Average Fixed Cost) disingkat AFC adalah ongkos tetap yang dibebankan pada setiap unit output, atau

b.    Biaya Variabel Rata-rata (Average Variabel Cost) disingkat AVC adalah semua biaya-biaya lain, selain AFC yang dibebankan pada setiap unit output, atau

c.     Biaya Total Rata-rata (Average Total Cost) disingkat ATC atau sering juga disebut biaya rata-rata dan hanya disingkat AC (Average Cost) adalah biaya total yang dibebankan pada setiap unit output yang diproduksi atau

d.    Biaya Marjinal (Marginal Cost) disingkat MC adalah tambahan biaya total karena ada tambahan produksi 1 unit output dan dirumuskan sebagai

Contoh :

Bila fungsi biaya rata-rata ditunjukkan oleh persamaan AC=25 - 8Q + Q² tentukan biaya marjinalnya (MC).

Untuk mendapatkan MC, maka langkah pertama adalah mencari TC-nya dulu.

Kemudian MC dicari dengan

Kurva MC mempunyai hubungan yang unik dengan kurva AC yang juga didapat dari kurva TC yang sama, atau dapat dilihat dengan gambar:

F.       Penerimaan

Penerimaan (revenue) yang dimaksud di sini adalah penerimaan produsen dari hasil penjualan outputnya. Untuk menganalisa perilaku produsen, ada beberapa konsep penerimaan yang harus dipahami lebuh dahulu.

a.     Penerimaan Toatal (Total Revenue) disingkat TR adalah penerimaan total produsen dari hasil penjualan outputnya atau TR = PQ

2. Penerimaan Rata-rata (Average Revenue) disingkat AR adalah Penerimaan Produsen per unit outputnya yang dijual, atau

c.     Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue) disingkat MR yaitu tambahan penerimaan karena adanya tambahan penjualan satu unit output, atau

            Grafik hubungan antara TR, AR, dan MR tergantung pada bentuk pasar di mana perusahaan tersebut berada. Ada 2 bentuk pasar yaitu pasar persaingan sempurna dan pasar monopoli

1. Pasar persaingan sempurna

Pasar persaingan sempurna antara lain ditandai oleh banyaknya produsen dan konsumen sehingga masing-masing pihak baik itu produsen (penjual) dan konsumen tidak dapat mempengaruhi harga di pasar. Harga ditentuka oleh ‘pasar’. Dalam pasar persaingan sempurna, kurva permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen merupakan garis lurus horizontal. Ini berarti produsen dapat menjual outputnya dalam jumlah berapapun tanpa terjadinya penurunan harga jual.

Contoh:

Dalam pasar persaingan sempurna fungsi permintaaan ditunjukkan oleh persamaan P = 10, sehingga kita dapat menentukan:

a.       Penerimaan totalnya: TR = PQ = 10Q

b.      Penerimaan rata-rata:

c.       Penerimaan marjinal :

Jadi, dalam pasar persaingan sempurna, fungsi permintaan berimpit dengan  fungsi penerimaan rata-rata dan penerimaan marjinalnya.

 

                                               

2. Pasar monopoli

Pasar monopoli ini berbeda dengan pasar persaingan sempurnna yang di dalamnya terdapat banyak penjualan dan pembeli, maka dalam pasar monopoli hanya ada satu penjual sehingga tidak ada orang lain yang menyaingi sehingga sehingga disebut juga pasar monopoli murni Karena seorang produsen monopoli adalah satu – satunya produsen di dalam suatu pasar, maka permintaan yang dihadapi adalah kurva permintaan pasar, yaitu kurva permintaan yang bentuknya menurun dari  kiri atas ke kanan bawah Dengan perkataaan lain, dalam pasar monopoli produsen dapat menetapkan harga.

Contoh:

Fungsi permintaan yang dihadapi seorang monopoli ditunjukkan oleh persamaan P = 10 – 0,5Q sehingga:

a.       Penerimaan total:

TR = PQ

= (10 – 0,5Q)Q

= 10Q – 0,5Q² 

b.      Penerimaan rata-rata:

= 10 – 0,5Q

c.       Penerimaan marjinal:

= 10 – Q

Dari jawaban di atas dapat dilihat bahwa kurva permintaan, AR dan MR merupakan garis lurus dan kurva permintaaan berimpit dengan kurva AR. Fungsi penerimaan total (TR) merupakan fungsi yang tidak linear . Gambar hubungan antara kurva-kurva di atas adalah sebagai berikut:

 

 

 

DAFTAR PUSTAKA

Haeussler, Paul, dan Wood. Pengantar Matematika Ekonomi untuk Analisis Bisnis dan Ilmu – Ilmu Ekonomi Edisi Ketigabelas Jilid 1. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Naidah. 2012. Matematika Ekonomi. Makassar: Fakultas Ekonomi Unismuh Makassar.

Rosyidi, Suherman. 2005. Pengantar Teori Ekonomi Pendekatan kepada Teori Ekonomi Mikro dan Makro. Surabaya: PT. Rajagrafindo Persada.